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浅谈三角变换的技巧
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浅谈三角变换的技巧

摘要:在中学数学中三角函数的问题是一个容易混淆的问题,因为在三角化简,求值,证明中往往需要对角进行变换,对函数名称、对幂进行变换,学生容易混淆,所以如何使学生学会三角变换的知识对学好三角函数有很好的帮助。本文就着中讨论三角变换的基本方法和应用。

关键词:角的变换、函数名称变换、幂的变换、公式变换、结构变形

引言:三角变换有许多的方法和技巧,例如可以采用角的变换,函数名称的变换,幂的变换,结构变形等方法,如何利用好这些方法进行解题,是讨论发重点。

1 用三角变换解题

三角变换是三角函数运算、化简、证明中应用较多的变换它主要有角度的变换,函数名称的变换,幂的变换,公式变形,结构变形等,接下来我将谈谈这些变换在解题中的应用。

1.1角的变换

在三角函数化简、求值、证明,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,半角、倍角、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题或解。

例1:因为△ABC中,已知A、B、C成等差数列,求:的值。

解:因为A、B、C成等差数列,求,所以由两角和的正切公式得,所以,

由两角和的正切公式得,

所以

从此例题,我们看到了A、B、C三角形之和为,A、B、C又成等差数列利用这三个相互之间的关系,求出,再利用公式求得结果。

例2:已知,求

解:由得,

 

此题巧妙地应用了,这个角的变换再根据公式解题。

1.2函数名称变换

三角变换中,常常需要变换函数名称为同名函数,如在三角函数计算中正弦是基础,通常化切割为弦,变异名为同名。

例如:化简

解:原式

=1

原式化简的解为1。

此题将化为,又将1巧妙地替换成,此题巧妙地应用了三角变换解题。

又如:证明:成立

证明:右边

=左边

从以上的例好是通过函数名称的变换化简。可见函数名称变换可以把较为复杂的问题化简处理,从而为解题提供方便。

1.3常数代换

在三角函数运算、证明、求值中有时常需要将常数化为三角函数的值,进行解题。例如常数“1”经常用于变换,主要变形有: 等等。

例1:证明

证明:右边

=左边

本题中将分子中的“1”代换成进行解题,从而更方便了化简。

又例如:已知,求的值。

解:原式

本题巧妙的利用将的分母看成利用了常数代换解题。

正如上面的例子通过常数的代换可以更加简单解题。

1.4幂的变换

降幂是三角函数变换时常用的方法,对次数较高的三角函数公式一般采用降幂处理方法,常用的降幂公式有:和 降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理数常用升幂处理。

例1:试证明:

解法一:证明:

左边

 

 

=右边

本题采用降幂处理的方法解答,也可采用升幂的方法解答,都可以使解题简单化。

解法二证明:

左边

 

 

 

 

 

=右边

所以解题时,采用降幂或升幂的处理方法,可以使解题更加的简单,当然选择较适当的方法也是很重要。

1.5公式变换

三角函数公式变换是变换的依据,应该熟练掌握三角函数公式的变形应用,如,等等的变换,现在就例举公式变形在解题中的应用。

例如:求的值。

解:原式

 

 

这样本题通过了公式变换,解题就比较简单。

1.6结构变形

在三角函数变换中,常对条件,结论的结构施行调整重新分组或移项,或变乘为除或求差等等。

例如:求的值。

解:原式

上题通过结构变形很容易就可以把题目化简。

1.7综合应用

可以看出在三角函数变形在三角函数解题中的应用可以很容易的进行解题。下面举这样一个题目,这个题目可以采用多种方法进行解题。

例:化简

解法一:从角入手,“负角化单角”利用升幂公式。

解:原式

 

 

 

解法二:从“名”入手,“异名”化“同名”

解:原式

 

 

解法三:从“形”入手,采用配方方法。

解:原式

 

 

以上题目的解法通过了各种方法,证明了通过变换可以把解题的步骤简单化,从而使解题方便。

结论:三角变换在三角的求值、证明、化简中起着重要的作用熟练掌握三角变换,有利于解题,三角变换常见的有的变换,名称的变换,公式变形,幂的变换,结构变换等,本文对这几种变换都举例说明,可见应用三角变换对解三角函数问题是很重要的。

引用文献

[1] 张光路 《高中数学基础知识》 P116-119

[2] 《中学数学报刊》湖北大学出版社 P37-42

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